Examensamenvatting wiskunde

Onderwerp: Examensamenvatting wiskunde di jun 12, 2007 4:10 pm

Samenvatting Wiskunde 2006-2007

Functies

Vierkantvergelijking of kwadratische vergelijking: ax² + bx = 0
a > 0 = dalparabool xT = -b/2a
a < 0 = bergparabool yT = f(1)

1. De onvolledige vierkanstvergelijking

b≠0 en c=0
In dit geval wordt de algemene gedaante x=0 of x= -b/a
 Oplossingenverzameling: V = {0 ; - b/a}
 Besluit: In dit bijzondere geval vinden we steeds 2 oplossingen, waaronder steeds de nuloplossing.

b=0 en c=0
In dit geval vinden we de algeme gedaante ax² = 0 met a is een element van IR.
 Oplossingenverzameling: V = {0}
 Besluit: dubbele oplossing

b=0 en c≠0
In dit geval vinden we de algemene gedaante ax² + c = 0 .
We vinden de oplossingen van de vergelijking door het linkerlid in factoren te ontbinden of door alle termen en factoren die bij x² staan naar het rechterlid over te brengen en vervolgens de vierkantswortel hieruit te trekken.
 Oplossingenverzameling: V = ø

2. De volledige vierkantsvergelijking: Discriminant

D = b² - 4.a.c 1. D>0  2 ongelijke oplossingen

2. D=0  2 gelijke oplossingen of1oplossing

3. D<0 = geen oplossingen

 Met “ 0 “ als discrimant wordt x1 = -b/2a
 Met een negatieve discriminant (bv -16) moet je niet verder uitwerken!!

4. Kwadratische functies y = ax² + bx + c

Stelling:
Voor een parabool met vergelijking = ax² + bx + c geldt er:
1. Als a>0, dan verkrijgen we een dalparabool.
Als a<0, dan verkrijgen we een bergparabool.
2. De symmetrie-as van een parabool verkrijgen we met: x = -b/2a .
3. De parabool heeft het punt T ( -b/2a , f(-b/2a) ) als top.
4. De nulpunten van de kwadratische functie vinden we door de vierkantvergelijking
ax² + bx + c = 0 op te lossen.

Tekenverloop (voorbeeld)
We beschouwen de kwadratische functie f(x) = x² - 2x – 3. De nulpunten van deze kwadratische functie vinden we door het oplossen van de vierkantsvergelijking x² - 2x – 3 = 0. We vinden -1 en 3 en tenslotte groter dan 3.

We stellen een diagram op waarbij we voor x waarden gelegen kleiner dan -1, tussen de nulpunten -1 en 3 en tenslotte groter dan 3.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 0 0

Voor sommige problemen zijn de eigenlijke waarden van f(x) = x² - 2x – 3 niet belangrijk en hebben we alleen het teken van deze functiewaarden nodig. Het vorig schema kunnen we dus beperken tot:
x -1 3
y 0 0

Dit schema noemen we het tekenverloop van de kwadratische functie met als voorschrift:
f(x) = x² - 2x – 3.

Nulpunten
De nulpunten van de kwadratische functie zijn de punten waarvoor aan de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 voldaan wordt. In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe deze berekend worden.

met D= b²-4ac

Laat ons even de som en het product van deze twee oplossingen onderzoeken.

Beschouwen we nu onze kwadratische functie ax² + bx + c .
We zonderen a af en krijgen:

ax² + bx + c = a (x² + b/a + c/a) = a (x²- (x1 + x2) x + x1 . x2) = a (x-x1) . (x –x2)

Als u dus de nulpunten van de kwadratische functies kent, kunt u deze ontbinden in twee factoren van de eerste graad (lineaire functies). Dit is het gaval waarbij D>0.

Als D=0 zijn er twee samenvallende nulpunten en is de functie een volkomen kwadraat. We krijgen dan ax² + bx + c = a(x-x1)²

Als D<0 zijn er geen nulpunten en kan de functie niet ontbonden worden.
5. Transformaties van de basisfunctie f(x) = x²

De f(x) = a (x-p)² + q is een transformatie van de functie f(x) = x² :
 verbreding / versmalling met factor a
 horizontale verschuiving met factor p  p> = naar rechts ; p< = naar links
 verticale verschuiving met factor q  q>0 = omhoog ; q<0 = omlaag

(p,q) = TOP van de parabool

xTop = -b/2a = p
yTop = f (-b/2a) = q

De functie y = ax² + bx + c kan omgevormd worden tot y =
met D = b² - 4ac; de discriminant van de kwadratische functie.
We hebben dus t.o.v. de basisfunctie y=y² een horizontale verschuiving over p = -b/2a en een verticale verschuiving q = -D/4a .

OEFENINGEN HERMAKEN !!!

Onderwerp: Re: Examensamenvatting wiskunde di jun 12, 2007 4:10 pm

Samenvatting Wiskunde 2006-2007

Kansberekening

1. Basisbegrippen – Formule van Laplace

Voorbeeld

In een vaas zitten 10 identieke balletjes met daarop tekens een getal.

Beschouw volgend kansexperiment : één balletje uit de vaas nemen.

1. De uitkomst van dit experiment is één element van een verzameling U. U, door de opsomming van de elementen : U={1,2,3,4,7,12,13,14,21,28}
U wordt de uitkomstverzameling van het kansexperiment genoemd.

2. A is de deelverzameling van U waarvan de elementen veelvouden van 3 zijn. A, eveneens
door opsomming van de elementen: A={3,12,21}
De verzameling A noemen we een gebeurtenis.
We omschrijven A met de zin: “Het getrokken getal is een veelvoud van 3”.
Indien de op aselecte wijze, d.w.z. zonder te kiezen, één balletje uit de vaas neemt en de uitkomst is een element van A, dan zeggen we: de gebeurtenis A is gerealiseerd.
Indien je op aselecte wijze één balletje uit de vaas neemt en de uitkomst is geen element van A, dan zeggen we: de gebeurtenis A is niet gerealiseerd.

3. De kans op het realiseren van de gebeurtenis A noemen we kort de kans op A.
We noteren: P(A)
Berekening: P(A) = 3/10 = 0,3 = 30 %

4. ø = de onmogelijke gebeurtenis; sluit elkaar uit
= of
= en

5. In dit kansexperiment is het aantal uitkomsten eindig en elke uitkomst is even waarschijnlijk. We spreken van een uniforme kansverdeling of model van Laplace.

De kans op het realiseren van een gebeurtenis 1 wordt berekend met de formule van Laplace.

# A is het aantal elementen van de gebeurtenis A.
# U is het aantal elementen van de uitkomstverzameling U.

2. Somregel en complementregel

Als 2 gebeurtenissen elkaar uitsluiten A B = ø
dan is de kans op A of B = kans op A + kans op B
IP [A B] = IP [A] + IP [B]

3. Overzicht

Gebeurtenis

kansexperiment  uitkomst hangt af van het toeval.

uitkomstverzameling U  verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het kansexperiment.

gebeurtenis A  A U
A is een deelverzameling van de uitkomstverzameling.

kans op A: P(A)  P(A) is het getal dat weergeeft hoe groot de kans is op het realiseren van gebeurtenis A bij het kansexperiment, d.w.z. dat de uitkomst van het experiment een element is van A.

Bijzondere gebeurtenissen

U is de zekere gebeurtenis.
ø is de onmogelijke gebeurtenis.

Ā = U \ A
Ā is de tegengestelde gebeurtenis van A. (We zeggen: “niet A” of “A complement”).

A B = ø
A en B zijn elkaar uitsluitende gebeurtenissen.

Formule van Laplace

Indien elke uitkomst van het kansexperiment even waarschijnlijk is, wordt de kans op een willekeurige gebeurtenis A berekend met de formule van Laplace:

Kansen

Somregel (voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen)

Complementregel

4. Kansbomen

Voorbeeld
In een doos liggen 2 blauwe balletjes en 3 witte.
Je neemt op aselecte wijze, zonder terugleggen, drie balletjes uit de doos.
Bereken de kans dat er precies één blauw balletje bij is.

a) Berekenen van de oplossing met combinaties
We hebben volgende mogelijkheden:

Volgens de opgave moeten we P(A ) berekenen.
We gebruiken het vaasmodel om onze redenering te ondersteunen.

Je neemt 3 balletjes uit vaas 1 waarbij de volgorde onbelangrijk is.
 # U = C = C = = 10

A : Je neemt een samengestelde beslissing.
Stap 1: neem 1 balletje uit vaas 2  C mogelijkheden
Stap 2: neem 2 balletjes uit vaas 3  C mogelijkheden
 # A = C . C = 2 . 3 = 6

P(A ) : Je past de formule van Laplace toe.
 P(A ) = = 6/10 = 0,6

Onderwerp: LET OP!! di jun 12, 2007 4:11 pm

Let op!!! Er zijn veel formules die mankeren, die ik niet op computer kon typen en dus geschreven heb!! Ga dus in je boek en cursus kijken om dit te vervoledigen!! Ik herhaal ook nog es: OEFENINGEN HERMAKEN!!!